Vícekriteriální model teorie rozhodování

Vícekriteriální model teorie rozhodování

Multiple Criteria Decission Model

Autor: RNDr. Helena Brožová, Csc.

Abstrakt:

Hlavním cílem modelů teorie rozhodování je výběr rozhodnutí pro danou rozhodovací situaci, které při realizaci určitých podmínek zajistí nejlepší výsledek. Rozhodovacím kritériem nemusí být pouze maximalizace výplat (tržby, zisky) či jejich minimalizace (náklady, ztráty). Uplatňují se i různá subjektivní hlediska osobního uspokojení. Proto může být užitečné formulovat rozhodovací model ve vícekriteriální formě.

Základní iterační postupy pro řešení tohoto modelu vycházejí jednak z principů řešení klasického modelu teorie rozhodování, jednak z postupů pro řešení modelů vícekriteriální analýzy variant nebo vícekriteriální optimalizace.

Abstract:

The main issue of Decision Models is the decision choice, which ensures the best economic result. The decision criterion has not to be only maximum of output or minimum of input, there are also many subjective criteria or criteria, which are bad evaluated. Therefore the formulation of Multiple Criteria Decision Model is very useful.

Two principles are used in each algorithm for Multiple Criteria Decision Model solving. The first one is some method for Classical Decision Model solving, the second one is the appropriate method of Multiple Criteria Analysis of Alternatives model solving or Multiobjective Programming Model solving.

Klíčová slova:

Vícekriteriální model teorie rozhodování, vícekriteriální analýza variant, agregace kritérií, třírozměrná matice výplat

Keywords:

Multiple Criteria Decision Theory Model, Multiple Criteria Analysis of Alternatives, Criteria Aggregation, Three Dimensional Pay-Of Matrix

Úvod:

Teorie rozhodování je částí vědy o řízení, která je rozpracovávána pro potřeby výběru nejlepšího možného rozhodnutí řídících pracovníků. Teorie rozhodování stejně jako celá věda o řízení je aplikovaná disciplína účelově zaměřená pro praktické potřeby. Hlavním cílem této disciplíny je nalezení dobrého resp. nejlepšího rozhodnutí pro danou rozhodovací situaci, resp. nalezení obecného postupu výběru jednoho z možných řešení, které při realizaci určitých podmínek zajistí nejlepší výsledek. Tento postup se nazývá řešením rozhodovacích situací.

Využívají se zde různé typy matematických modelů. Některé z nich slouží skutečně k výběru optimálního rozhodnutí, jiné pomáhají lépe poznat rozhodovací problém, situaci pouze popisují nebo umožňují zkoumat dopady různých možných rozhodnutí na další vývoj řízeného systému.

Rozhodovací situaci je možno je klasifikovat podle charakteru přijatelných řešení, podle cíle řešení, podle podmínek, které ovlivňují výsledek rozhodnutí, podle kritérií posuzování tohoto výsledku, atd.

Pro rozhodovací situace je důležité, zda se jedná o dlouhé série totožných situací, pro jejichž řešení lze uplatňovat stále stejný přístup, či o situace jedinečné vyžadující originální řešení. Důležitým rysem rozhodování je rovněž to, zda se řešitel při svém rozhodování dostává či nedostává do konfliktů s jiným řešitelem.

Nejstarší a nejobecnější vědní disciplína zabývající se řešením rozhodovacích situací je teorie her. Teorie rozhodování vznikla na jejím základě, přebírá její terminologii, kterou částečně modifikuje a částečně vytváří terminologii vlastní.

Klasický model teorie rozhodování:

Podstatou modelů teorie rozhodování jsou modely her proti přírodě. Inteligentním hráčem je rozhodovatel, pracovník, který přijímá rozhodnutí a je za ně odpovědný. Strategie uplatňované rozhodovatelem, resp. rozhodnutí učiněná při řešení problému, se nazývají alternativami. Protihráčem jsou reálné stavy okolností, které ovlivňují zvolené rozhodnutí.

Výsledkem každé alternativy za odpovídajícího stavu okolností je určitý hospodářský efekt nazývaný výplatou. Tím bývá výnos či zisk nebo náklad či ztráta nejčastěji v peněžním vyjádření. Každému rozhodnutí - alternativě odpovídá tolik výplat, kolik různých stavů okolností připadá v úvahu. Každému stavu okolností odpovídá tolik výplat, kolik alternativ řešení se uvažuje. Jestliže je m alternativ a n stavů okolností, vzniká tzv. výplatní maticeV = (vij)n.m. Standardní forma rozhodovacího modelu se nazývá výplatní nebo rozhodovací tabulka.

Jinou formou modelu teorie rozhodování jsou rozhodovací stromy, které zobrazují celou rozhodovací situaci graficky pomocí stromu. Nejprve je zobrazen výběr alternativ a potom realizace stavů okolností, každý list rozhodovacího stromu odpovídá jedné kombinaci alternativy a stavu okolností a je možno ho ohodnotit příslušnou výplatou.

V praxi může být obtížné spolehlivě určit výši výplat jednotlivých alternativ při různých stavech okolností. Rozhodovatel je zpravidla odhaduje sám nebo za pomoci expertů.. Na míře přesnosti takových odhadů závisí do značné míry úspěšnost rozhodování.

Proces volby určité alternativy s ohledem na odpovídající výplaty se řídí záměrem a přístupem rozhodovatele k problému. Ne vždy je vhodné volit alternativu s maximální či minimální výplatou (podle toho, jedná-li se o náklady či výnosy). Pro jednoduchost dalšího textu budeme předpokládat, že nejlepší výplata je výplata maximální.

Kromě výše výplat by rozhodovatel též potřeboval vědět, který stav okolností nastane v době implementace rozhodnutí. Pokud má rozhodovatel k dispozici tuto informaci, rozhoduje za podmínek jistoty. Pokud rozhodovatel nemá vůbec žádnou představu o tom, jaký bude aktuální stav okolností, pak rozhoduje za podmínekúplné nejistoty.

Mezi těmito dvěma extrémními situacemi leží případy, kdy rozhodovatel sice neví s jistotou jaký bude aktuální stav okolností, ale zná či odhaduje pravděpodobnosti stavů okolností. Pak rozhoduje za podmínek rizika.

Vícekriteriální model teorie rozhodování:

Kromě stanovení reálné výše výplat může být problémem stanovit i charakter výplat, neboť velká většina rozhodovacích situací je charakterizována mnoha různými kritérii, cíly. Rozhodovacím kritériem nemusí být pouze maximalizace výplat (tržby, zisky) či jejich minimalizace (náklady, ztráty), i když jsou zdaleka nejčastější. Někdy se uplatňují i různá subjektivní hlediska osobního uspokojení. Příkladem mohou být různé typy pojištění např. proti živelným katastrofám, jejichž pravděpodobnost se blíží nule a přesto se takové pojistky platí. Proto může být užitečné formulovat rozhodovací model ve vícekriteriální formě.

Definice

Vícekriteriální model teorie rozhodování s r kritérii zobrazuje situaci, ve které má rozhodovatel na výběr z m alternativ a1, a2, ... , am , které jsou ovlivňovány realizací jednoho z n stavů okolností s1, s2, ... , sn . Výplata každé kombinace alternativy a stavu okolností je dána r složkovým vektorem wij pro i=1,...,m a j=1,...,n.

Tento model je možno zobrazit ve formě třírozměrné rozhodovací tabulky, která je vlastně třírozměrnou výplatní maticíW = (wijk)m.n.r .

Pro pevnou hodnotu indexu k=ko dostáváme klasický jednokriteriální model teorie rozhodování s výplatami danými kritériem ko. Každý z těchto modelů nazýváme dílčím nebo parciálním modelem příslušným původnímu vícekriteriálnímu modelu teorie rozhodování.

Definujeme-li indexy i=io a j=jo , dostaneme výplaty pro alternativu aio a stav okolností sjo podle všech kritérií. Podobně je možno definovat vektory a matice výplat pro další kombinace zadaných a nezadaných hodnot indexů i, j, k.

I v případě vícekriteriálních modelů teorie rozhodování je třeba rozlišovat situace s jistotou, rizikem a nejistotou.

Vícekriteriální model teorie rozhodování je možno velmi přirozeně zapsat v sešitě tabulkového procesoru. Řádky každého listu zobrazují jednotlivé alternativy a sloupce jednotlivé stavy okolností. Jednotlivé listy pak zobrazují jednotlivá kritéria rozhodovací situace. Nebude-li řečeno jinak, předpokládejme nadále pro jednoduchost, že všechna kritéria jsou maximalizační.

sn relBottom

Možnosti řešení vícekriteriálního modelu teorie rozhodování

Jak již bylo řečeno, vybereme-li jedno z kritérií, jedná se o klasický model teorie rozhodování. V takovém případě je možno pro řešení problému použít některou z metod teorie rozhodování. Tyto metody konstruují z výplatní tabulky tohoto kritéria komplexní ohodnocení všech alternativ, podle něhož je vybírána alternativa nejlepší.

Označme h vektor komplexního ohodnocení všech alternativ. V případě klasického modelu teorie rozhodování je každé pravidlo pro nalezení nejlepší alternativy charakterizováno jistou funkcí F, můžeme proto obecně psát

h = (h1, h2, ..., hm)

hi = F(vi1, vi2, ..., vin) , i = 1, ..., m.

Například při řešení rozhodovací situace pomocí Waldova kritéria je funkce F definována jako minimum ze všech výplat pro každou z alternativ, tedy

hi = min(vi1, vi2, ..., vin) , i = 1, ..., m.

Pro vícekriteriální model teorie rozhodování by bylo potřeba najít funkci G, která stanoví komplexní ohodnocení alternativ podle všech kritérií

h = (h1, h2, ...., hm)

hi = G(wi1, wi2, ..., win) , i = 1, ..., m.

Nalézt analytické vyjádření pro funkci G je však mnohem obtížnější, projevují se zde stejné problémy jako při řešení jakéhokoliv jiného vícekriteriálního modelu. Snazší je nalézt iterační postup, který vede k vyčíslení hodnot funkce G.

Základní iterační postupy pro řešení tohoto modelu vycházejí jednak z principů řešení klasického modelu teorie rozhodování, jednak z postupů pro řešení modelů vícekriteriální analýzy variant nebo vícekriteriální optimalizace.

První možností řešení vícekriteriálních modelů je použít určitou formu agregace jejich kritérií. Agregovat jednotlivá kritéria je možné jako první krok výpočtů, je možno využít forem agregace používaných v modelech vícekriteriální optimalizace. Označíme-li funkci agregace g, lze první krok výpočtu formálně zapsat následovně

hij = g(wij1, wij2, ..., wijr) , i = 1, ..., m , j = 1, ..., n.

Ve druhém kroku výpočtů pak bude použita některá z metod pro řešení klasického jednokriteriálního modelu teorie rozhodování.

Druhou možností je nejprve řešit dílčí modely, vytvořit komplexní ohodnocení alternativ podle jednotlivých výplatních matic. Označme funkce komplexního ohodnocení alternativ podle jednotlivých kritérií gk, k = 1, ..., r. Dostaneme tak vícekriteriální ohodnocení každé alternativy hik

hik = gk(wi1k,, wi2k, ..., wink) , i = 1, ..., m , k = 1, ..., r.

Ve druhém kroku pak mohou být takto získané hodnoty zpracovány metodami vícekriteriální analýzy variant.

Oba tyto možné postupy včetně návrhu jejich realizace v tabulkovém procesoru budou popsány dále.

Řešení založené na agregaci kritérií - výplatních matic

Stejně jako v případě jiných vícekriteriálních modelů je velmi přirozené pokusit se upravit vícekriteriální model teorie rozhodování na model jednokriteriální. Znamená to, že každý výplatní vektor wij je převeden na jednoduché ohodnocení alternativ hij odpovídající výplatám vij jednokriteriálního modelu teorie rozhodování. Potom je použita vhodná metoda pro řešení jednokriteriálního modelu.

I. krok - Agregace

Pravděpodobně nejlepším a zároveň i nejjednodušším způsobem agregace je použití konvexní lineární kombinace kritérií. Předpokládejme, že důležitost jednotlivých kritérií je vyjádřena váhami uk , k=1, ..., r , pro které platí

u1 + u2 + .... + ur = 1

uk 0 , k = 1, ..., r.

Kriteriální hodnoty pak budeme agregovat podle vztahu

hij = , i = 1, …, m , j = 1, …, n

Dostaneme tak klasický jednokriteriální model teorie rozhodování. Nejlepší alternativu vybereme pomocí vhodného pravidla pro jeho řešení.. Toto pravidlo musí co nejlépe respektovat vlastnosti rozhodovací situace.

II. krok - Řešení jednokriteriálního modelu

Podle typu rozhodovací situace, pro kterou byl model sestaven, lze použít některé z vhodných pravidel pro nalezení nejlepší alternativy.

Samozřejmě je možné použít i jiné formy agregace. Ve všech případech je třeba si uvědomit, že agregovaná výplata nemusí být prakticky interpretovatelná. Po volbě nejlepší alternativy je proto nutné se vrátit k původnímu vektorovému ohodnocení jednotlivých alternativ.

Řešení pomocí vhodného modelu vícekriteriální analýzy variant

Řešení vícekriteriálních rozhodovacích modelů za jistoty

Termínem rozhodování za jistoty je označována rozhodovací situace se známým stavem okolností. Pro výběr nejlepší alternativy klasického modelu teorie rozhodování jsou pak důležité hodnoty v jednom sloupci výplatní matice.

I. krok - dílčí modely teorie rozhodování

Víme-li, že nastane stav okolností sjo , jsou jednotlivé alternativy podle jednotlivých kritérií ohodnoceny hodnotami

hik = wijok , i=1, …, m , k=1, …, r.

V případě vícekriteriálních rozhodovacích modelů to znamená, že z trojrozměrné výplatní matice W pro výběr nejlepší alternativy stačí analyzovat hodnoty wijok , kde jo je index známého stavu okolností.

Dostáváme model ve tvaru vícekriteriální analýzy variant. Variantami jsou jednotlivé alternativy, kritéria a kriteriální hodnoty jsou převzaty z původního modelu. V sešitě tabulkového procesoru je vhodné potřebné hodnoty přenést do nového listu ve formě modelu vícekriteriální analýzy variant.

II. krok - model vícekriteriální analýzy variant

Pro výběr nejlepší alternativy bude pak použita některá z metod řešení těchto modelů jako např. metoda váženého součtu, TOPSIS, ORESTE, ELECTRA a pod. Většina těchto metod vyžaduje použití vhodného programu nebo několik kroků výpočtu, jejichž výsledkem je např. pořadí alternativ. Výsledek řešení druhého kroku bude uložen v dalším listu tabulkového procesoru.

Řešení vícekriteriálních rozhodovacích modelů za úplné nejistoty

Pro řešení modelů teorie rozhodování za úplné nejistoty je navržena řada postupů, např.

· Waldovo pravidlo - maximinový princip

· Maximaxový princip

· Bernoulli-Laplaceovo pravidlo - princip nedostatečné evidence

· Savageovo pravidlo - princip minimaxové ztráty

· Hurwitzovo pravidlo.

Ve všech těchto případech je nejlepší alternativa vybírána na základě komplexního ohodnocení, které zahrnuje výsledky jednotlivých alternativ pro všechny možné stavy okolností. Každé pravidlo vlastně vytváří vektor kriteriálních hodnot, nejlepší alternativa je ta, která je ohodnocena nejlepší kriteriální hodnotou.

I tento postup lze poměrně snadno modifikovat pro vícekriteriální modely teorie rozhodování. Budeme-li tento model chápat jako souhrn r dílčích - parciálních modelů a zvolíme-li stejné pravidlo pro výběr nejlepší alternativy ve všech dílčích modelech, pak opět jednotlivé vektory kriteriálních hodnot vytvářejí model vícekriteriální analýzy variant.

I. krok- dílčí modely teorie rozhodování

Spočítáme komplexní ohodnocení alternativ v příslušných jednokriteriálních dílčích modelech teorie rozhodování vybraným pravidlem. Ukážeme tento postup pro Hurwitzovo pravidlo. Stanovíme optimisticko-pesimistický index t, pro jednotlivá kritéria dostaneme ohodnocení jednotlivých alternativ

hik = , i=1, …, m , k=1, …,r

II. krok - model vícekriteriální analýzy variant

Hodnoty hik vytvářejí kriteriální matici modelu vícekriteriální analýzy variant, takže lze nejlepší alternativu vybrat pomocí vhodného postupu řešení tohoto modelu.

Na závěr je třeba poznamenat, že není nezbytné řešit všechny dílčí modely stejným pravidlem. Rozhodovatel může na základě vlastností jednotlivých kritérií vybrat pravidla, která budou nejlépe odpovídat dané situaci. Vybraná alternativa pak může představovat rozhodnutí, které lépe zohledňuje rozhodovací situaci.

Řešení vícekriteriálních rozhodovacích modelů za rizika

Pro řešení rozhodovacích modelů za rizika existují dva postupy vycházející z Bayesova principu, které však vedou ke stejným výsledkům, je to

· pravidlo maximální očekávané výplaty a

· pravidlo minimální očekávané ztráty

Tato pravidla ohodnocují rozhodovací situaci vektorem očekávaných výplat, resp. ztrát a nejlepší alternativa je vybírána podle maximální, resp. minimální hodnoty.

I. krok- dílčí modely teorie rozhodování

Řešení vícekriteriálního modelu vychází z výpočtu vektorů kriteriálních hodnot podle jednoho z pravidel pro všechny dílčí modely. Tak jsou získány údaje, které je možno opět zpracovat postupy vícekriteriální analýzy variant.

Riziko je představováno pravděpodobnostmi realizace jednotlivých stavů okolností, které zapisujeme do vektoru rizika p

p = (p1, p2 , … , pa) .

Použijeme-li např. pravidlo maximální očekávané výplaty, dostaneme komplexní ohodnocení všech alternativ podle jednotlivých kritérií

hik = , i=1, …, m , k=1, …,r

II. krok - model vícekriteriální analýzy variant

Takto získané údaje opět vytvářejí model vícekriteriální analýzy variant, jehož řešením bude vybrána nejlepší alternativa rozhodnutí.

Závěr:

Rozhodování na základě většího počtu kritérií je velmi časté. Řada matematických modelů již byla upravena i pro vícekriteriální případy, je rozpracována teorie vícekriteriální optimalizace, vícekriteriální analýzy variant i vícekriteriálních her.

Modely teorie rozhodování slouží k modelování rozhodovacích situací a výběru nejlepších alternativ. I tento model je možno formulovat ve vícekriteriální formě. Jeho řešení může probíhat podle dvou základních postupů.

Prvním z nich je úprava vícekriteriálního modelu na model jednokriteriální pomocí vhodné agregace kriteriálních hodnot. Pro řešení upraveného modelu pak bude použito vhodné pravidlo pro řešení modelů teorie rozhodování.

Druhý postup vychází z toho, že se nejprve řeší vhodným postupem dílčí jednokriteriální modely teorie rozhodování a stanoví se tak ohodnocení každé z alternativ podle jednotlivých kritérií. Vznikne tak model vícekriteriální analýzy variant, který bude řešen některou z vhodných metod.

Literatura:

Brožová, H., Šubrt, T.: Modelové techniky v tabulkových procesorech, metodická studie, závěrečná zpráva vnitřního grantu, VŠZ, Praha 1994.

Brožová, H., Šubrt, T.: ORKOSA, programový systém pro řešení modelů operačního výzkumu, ČZU Praha 1999.

Havlíček, J.: Optimalizace vícerozměrných dopravních systémů, habilitační práce, VŠZ, Praha, 1991.

Šubrt, T.: Metody koncepce a tvorby hybridních modelových systémů, disertační práce, ČZU, Praha 1998.