Verifikácia aplikácie modelov s korekčným členom pri ...

Verifikácia aplikácie modelov s korekčným členom pri prognózovaní makroekonomických ukazovateľov

Verification of Error Correction Models Application in a Macroeconomics indicators Forecasting

Autoři: Zlatica Sojková, Martin Trnkus

Abstrakt v češtině:

Príspevok prezentuje postup konštrukcie ekonometrických modelov s korekčným členom, ktorý je demonštrovaný na mesačných údajoch vývoja miery nezamestnanosti a miery voľných miest za obdobie rokov 1993 až 1999. Obidva časové rady sú nestacionárne so stochastickým trendom. Pomocou aktualizovaného Dickey-Fullerového testu (ADF test) sa určuje stupeň integrácie časových radov, pričom sa zisťuje, že obidva ukazovatele sú integrované prvého rádu, t.j. I(1). Existencia vzájomného vzťahu medzi mierou nezamestnanosti a mierou voľných miest sa testuje pomocou kointegrácie časových radov. ADF test nepreukázal existenciu vzájomného dlhodobého rovnovážneho vzťahu medzi časovými radmi. Konštrukcia ekonometrického modelu s korekčným členom preukázala opodstatnenosť zaradenia korekčných členov do modelu skúmania a prognózovania krátkodobých zmien nezamestnanosti.

Abstrakt v angličtině:

The paper presents the methodology of error correction model construction. The econometrics model is based on the monthly data of the unemployment and the job vacancy rate development in the years 1993-1999. The both time series are nonstationary with stochastic trend. On the base of the augmented Dickey- Fuller test it is determined the order of integration of the time series. The ADF test suggests that the both time series are integrated in the same order, I(1). The test of cointegration shows that there is no evidence of cointegration between unemployment and job vacancy rate. That means that no long run equilibrium relationship exists. In the finaly of the paper econometric model with error correction terms is constructed.

Klíčová slova:

časové rady náhodnej prechádzky, integrácia, kointegrácia, modely s korekčným členom, nezamestnanosť

Keywords:

random walk time series, integration, cointegration, error correction models, unemployment

Úvod:

Empirické štúdie správania sa časových radov ekonomických ukazovateľov viedli k poznaniu, že väčšina ekonomických ukazovateľov má charakter nestacionárnych časových radov s deterministickým, resp. častejšie stochastickým trendom. Klasické štrukturálne, teda statické ekonometrické modely analýzy vzťahov medzi ekonomickými ukazovateľmi takéhoto charakteru viedli k skresľujúcim výsledkom, teda k zisteniu tzv. zdanlivých závislosti medzi ukazovateľmi, ktoré tak boli mylne interpretované. Zásadný nedostatok ekonometrických modelov ako nástroja verifikácie ekonomickej teórie spočíval v ich statickom charaktere

Na počiatku 70-tych rokov tak ekonómovia čoraz viac sústreďovali pozornosť na metodologický prístup analýzy časových radov, označovaný ako Boxova-Jenkinsova metodológia, ktorá zaznamenala výraznú úspešnosť v prognózovaní okrem iných aj ekonomických ukazovateľov. Box-Jenkinsonove modely boli následne pre potreby ekometrického prognózovania formulované všeobecnejšie ako viacrozmerné modely , v ktorých vstupný vektor exogénnych premenných je modelovaný ako ARIMA proces. Dochádza tak k syntéze Box - Jenkinsovej metodológie (metodológie založenej na analýze časových radov) a ekonometrického modelovania (statický prístup) Túto syntézu reprezentuje štruktúrny ekonometrický prístup na báze časových radov (SEMTSA), ktorý je špeciálnym prípadom viacrozmerných Box-Jenkinsových modelov, pri ktorom sú na exogenné premenné dané apriori ohraničenia v súlade s ekonomickou teóriou. Vyústením takejto syntézy sú jednorovnicové modely s korekčným členom (Error Correction Models - ECM), v ktorých je implemetovaný korekčný člen. Tento umožnuje v súlade s ekonomickou teŕiou odhadovať "chybu" v dosiahnutí dlhodobého ekvilibria medzi skúmanými ekonomickými ukazovateľmi.

Cíle a metody:

. Ekonomická teória často prepokladá, že ekonomické veličiny, napríklad disponibilné príjmy a spotreba, vládne výdavky a daňové príjmy a pod., by mali byť z dlohobého hľadiska vo vzájomnom rovnovážnom vzťahu. Skúmanie vzájomných vzťahov medzi ekonomickými veličinami s evidentným stochastickým trendom determinuje modifikované metodologické prístupy. Ak dva časové rady yt a x t vykazujú stúpajúci trend, závislosť yt na x bude signifikantná avšak zavádzajúca, pretože časové rady môžu mať len analogický priebeh dvoch vzájomne nezávislých náhodných prechádzok. Takýto výsledok býva skresľújúci, obzvlášť ak sa interpretuje z ekonomických aspektov. Modifikácia klasických ekonometrických prístupov spočíva na báze skúmania stupňa integrácie časových radov, testovania kointegrácie a v konečnom dôsledku špecifikácii dynamických ekonometrických modelov -modelov s korekčným členom.

Konštrukciu ECM možno ilustrovať vychádzajú z jednoduchého nasledovného modelu: yt= bo+b1*xt + b2*x t-1+ b3* yt-1 + ut

Ak z dlohodobého hľadiska položíme yt = yt-1 a xt = x t-1 , po úparavach (pozri napr.KENNEDY, 1998), získame model:

yt - y t-1 = bo+b1*(xt - x t-1)+( b3-1)*( yt-1 - x t-1) + ut

Posledný člen rovnice predstavuje korekčný člen. Koeficient u korekčného člena predstavuje rozsah, v akom je vzťah dlhodobej rovnováhy narušený. V súlade s ekonomickou teóriou rastie z dlhodobého hľadiska yt a xt približne rovnako, takže v rovnováhe je rozdiel (yt-xt) približne konštantný. Koeficient ( b3-1) možno interpretovať ako mieru výslednej nerovnováhy , ktorá sa odráža v posune prírastku yt za jedno obdobie.

S aplikáciou modelov s korekčným členom je úzko spojená problematika stacionarity a kointegrácie.

Časové rady so stochastickým trendom, t.j. nestacionárne časové rady charakteru náhodnej prechádzky, (random walk with drift) možno diferencovaním rádu d transformovať na časové rady stacionárne. Ak je možné dosiahnúť stacionaritu časového radu diferencovaním prvého stupňa ide o časový rad integrovaný prvého rádu, teda I(1).. Štandardným postupom určenia stupňa integrácie časového radu je aplikácia upraveného Dickey-Fullerovho testu (ADF test), DICKEY a FULLER, 1981, ktorý porovnáva mieru vysvetlenej variability pri neohraničenej regresii (RSSUN)

yt - y t-1 = +*t+ **yt-1+*( yt-1 - y t-2) +t , kde *= (1-)

s vysvetlenou variabilitou pri ohraničenej regresii (ESSR)

yt - y t-1 = *( yt-1 - y t-2) +t

Testovacím kritériom pre ADF test je kritérium F= ((RSSUN - RSSR)/k)/(1-RSSUN)/(n-p)), kde n je počet pozorovaní, k, p -počet parametrov v ohraničenej a neohraničenej regresii.

ADF test, test jednotkového koreňa, je založený na porovnávaní vypočítaného F-kritéria s kritickými hodnotami pre tento test,podrobnejšie pozri napr. GREEN (1993).

Ak sú nestacionárne časové rady integrované prvého rádu I(1), môže byť ich lineárna kombinácia stacionárnym procesom, t.j. I(0), také časové rady sú kointegrované. V prípade kointegrovaných časových radov by z dlhodobého hľadiska mal medzi nimi existovať rovnovážny vzťah, z krátkodobého hľadiska však môžu byť v nerovnováhe. Formálnu definíciu kointegrácie možno nájsť napr. v ENGLE a GRANGER (1987).Testovanie kointegrácie je založené na testovaní autokorelácie reziduí z kointegračnej regresie. V prípade existencie kointegrácie medzi analyzovanými časovými radmi má opodstatnenie ďalej konštruovať ekonometrický model s korečným členom.

Príspevok prezentuje metodologický postup konštrukcie modelov s korekčným členom a verifikuje zároveň ich použiteľnosť v našich podmienkach. Vzhľadom na problematickú dostupnosť časových radov makroekonomických ukazovateľov za Slovensko a taktiež ich slabú vypovedaciu schopnosť, či obsahovú nekonzistentnosť v dostupnom a použiteľnom časovom horizonte, aplikovateľnosť modelov ECM je prezentovaná na analýze vzťahu miery voľných miest a miery nezamestnanosti. Časové rady sú mesačné za obdobie rr. 1993 až 1999 za Slovensko. Ukazovateľ miery voľných miest (V) je počítaný ako podiel voľných miest k počtu ekonomicky činných osôb a vyjadrený je v percentách. Vývoj oboch ukazovateľov je znázornený na obrázku 1.

Výsledky:

Analýza vzťahu miery nezamestnanosti a miery voľných miest bola uskutočnená na logaritmicky transformovaných údajoch, pričom sa použil prirodzený logaritmus. Postup skúmania vzťahu medzi mierou nezamestnanosti (yt ) a mierou voľných miest (xt )možno sumarizovať do nasledovných krokov:

· V prvom kroku sa realizuje ADF test , (test jednotkového koreňa) na logaritmicky transformované pôvodné údaje vývoja oboch ukazovateľov, ktorým sa určí stupeň integrácie časových radov.

· V druhom kroku sa kvantifikuje kointegračná regresia medzi lnyt a lnxt .

· Aplikuje sa test jednotkového koreňa na regresiu diferencovaných reziduí získaných z kointegračnej rovnice, ktorým sa skúma existencia kointegrácie medzi skúmanými ukazovateľmi.Skúma sa tak náhodnosť usporiadania reziduií v čase.

· V prípade existencie signifikantnej kointegrácie medzi lnyt a lnxt použijú sa časovo posunuté reziduá z kointegračnej regresie ako korekčný člen do výsledného ECM. Alternatívne možno miesto časovo posunutých reziduí použiť rozdielovú premennú (lnyt -lnxt) a odhadnúť tak ECM simultánne v jednom kroku (tento postup je aplikovaný autormi príspevku). Obidva vyššie uvedené alternatívne postupy sú predmetom širšej diskusie.

V prvom kroku bol skúmaný stupeň integrácie analyzovaných časových radov. Aplikovaný bol aktualizovaný Dickey-Fullerov test, ktorý spočíval na kvantifikácii ohraničenej a neohraničenej regresnej rovnice pre časové rady obidvoch skúmaných ukazovateľov.

Pre nezamestnanosť boli odhadnuté nasledovné regresné rovnice:

Regresia bez ohraničenia:

lnyt - lnyt-1 = 0,109+0,0001937*t - 0.040184* lnyt-1+0,46445*(lnyt-1-lnyt-2)

(1.40) (1.40) (-1.41) (4.61)

RSSUN =0.223 (R2)

a regresia s ohraničením

lnyt - lnyt-1=0.00326+0.43778* (lnyt-1-lnyt-2)

(1.75) (4.48)

RSSR = 1.97, ADF testovacie kritérium F=1.34

Analogické výpočty boli realizované pre ukazovateľ miery voľných miest.

Regresia bez ohraničenia:

lnxt - lnxt-1 = -0,00066-0,00039*t - 0.020652* lnxt-1+0,456385*(lnxt-1-lnxt-2)

(-0.03) (-1.14) (-0.93) (4.42)

RSSUN =0.232 (R2)

a regresia s ohraničením

lnyt - lnyt-1= -0.004384+0.456378* (lnyt-1-lnyt-2)

(1.76) (4.66)

RSSR =0.209, ADF testovacie kritérium F=0.31

Kritická hodnota ADF testu pre rozsah údajov približne n=100, k=2 a p=4 je F=6.49. Pri skúmaní stupňa integrácie časových radov nezamestnanosti a miery voľných miest ADF test preukázal, že časové rady obidvoch ukazovateľov sú integrované prvého rádu, t.j. I(1).

V ďalšom kroku bola MNŠ kvantifikovaná kointegračná regresná rovnica vzťahu miery nezamestnanosti od miery voľných miest, pričom obe premenné boli logaritmicky transformované.

Výpočtom boli získané nasledovné výsledky:

lnyt = 2,488 - 0,24*lnxt , R= 0,73, R2 = 0,53 , DW= 0,164

(-9,69***)

Existenciu kointegrácie možno verifikovať ADF testom nulovej hypotézy jednotkového koreňa autokorelačnej rovnice reziduí z kointegračnej regresie:

lnet - lnet-1 =0,004258-0,093533*et-1

(-2,21)

V zmysle klasického t-testu by regresný koeficient v kointegračnej rovnici bol štatisticky preukazný. Pre testovanie kointegrácie (test unit roots) však boli Dickey a Fullerom zostavené na základe Monte-Carlo štúdií špeciálne kritické hodnoty. V našom prípade je pre počet pozorovaní n približne 100 kritická hodnota ADF testu rovná -3.17. Porovnaním t-štatistiky (-2.21) a kritickej hodnoty ADF testu možno konštatovať, že logaritmicky transformované ukazovatele miery nezamestnanosti a miery voľných miest nie sú kointegrované. Reziduá z kointegračnej regresie nie sú náhodne usporiadané v čase, nepredstavujú "biely šum". Signalizuje to aj hodnota D-W testu (0.164) nlízka nule. Znamená to, že medzi uvedenými ukazovateľmi neexistuje "dlhodobý " vzájomný vzťah. V takom prípade nie je plne opodstatnená konštrukcia ECM modelu, aj keď názory na opodstatnenosť konštrukcie ECM nie sú jednoznačné. Štandardným posúdením kointegračnej regresie by však zdanlivo išlo o relatívne silnú závislosť miery nezamestnanosti od miery voľných miest (v logaritmickej transformácii), pretože koeficient determinácie predstavuje 53%. Interpretácia koeficentov kointegračnej regresie by však z ekonomického hľadiska nebola zmysluplná.

Diskuse:

Viacerí autori článkov orientovaných na empirické analýzy skúmania vzťahov ekonomických veličín na báze modelov s korekčným členom navrhujú takéto modely konštruovať aj v prípade nekointegrovaných časových radov pôvodných ukazovateľov. Opodstatnenosť ich konštrukcie je determinovaná schopnosťou modelov postihovať krátkodobé zmeny vysvetľujúcej premennej. Naviac považujú testovanie signifikantnosti koeficienta pri korekčnom člene v ECM za spôsob preverovania hypotézy o existencii kointegrácie medzi vysvetľovanou a vysvetľujúcou premennou.

Aj v našej analýze sme v ďalšom kroku konštruovali a verifikovali niekoľko ECM modelov vychádzajúc z predpokladu, že aj keď nie je evidentný dlhodobý vzťah medzi mierou nezamestnanosti a mierou voľných miest, z krátkodobého hľadiska môžu zmeny vo "vzdialenosti" miery nezamestnanosti od miery voľných miest (yt -1 - xt-1) s určitým časovým posunom vplývať na zmeny v miery nezamestnanosti. Na báze viacerých experimentálnych prepočtov sa dospelo k nasledovnému modelu s korekčnými členmi:

lnyt - lnyt-1 = -0,004694+0,1197*ECT)+0,2821*(lnyt-1-lnyt-2) (3,59) (2,79***) (-3,45***)

R=0,55, R2 = 0,31 DW = 1,7, (v zátvorke sú uvedené t-štatistiky)

ECT predtavuje korekčný člen počítaný ako (lnyt-1 - lnxt-1) - (lnyt-2 - lnxt-2)

V modeli je zahrnutý diferencovaný korekčný člen s časovo posunutými rozdielovými premennými. Rovnica implikuje krátkodobé zmeny v miere nezamestnanosti vyvolané krátkodobými odchýlkami v zmenách vzdialenosti miery nezamestnanosti a miery voľných miest (všetky premenné sú vyjadrené v logaritmickej transformácii). Model dokumentuje štatisticky preukaznú závislosť krátkodobých zmien v miere nezamestnanosti od krátkodobých odchýliek od dlhodobého rovnovážneho stavu miery nezamestnanosti a miery voľných pracovných miest.

Literatura:

Dickey, D. - Fuller, W: Likehood Ratio test for Autoregressive Time Series with a Unit Root. Econometrica, 49, 1981, pp. 1057-1072

Engle, R. - Granger,C.: Co-integration and Error Correction: Representation, Estimation and Testing. Econometrica, 35, 1987, pp. 251-276

Greene, W.:Econometric analysis. 1993, MPC, USA, 2nd ed. ISBN 0-02-346391-0

Kennedy, P: A Guide to Econometrics.1998, UK.p.468. ISBN 0-262 11235-3